Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. Чему равен квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда


Диагональ параллелепипеда. Формула. Как найти диагональ параллелепипеда?

Диагональ параллелепипеда. Формула. Как найти диагональ параллелепипеда?

  • Прямоугольным параллелепипедом (ПП) является ни что иное, как призма, основанием у которой прямоугольник. У ПП все диагонали равны, значит любая его диагональ рассчитывается по формуле:

    где

    Можно дать и другое определение, рассматривая декартову прямоугольную систему координат:

    Диагональ ПП это радиус-вектор любой точки пространства, заданной координатами x, y и z в декартовой системе координат. Этот радиус вектор к точке проводится из начала координат. А координатами точки будут проекции радиус-вектора (диагонали ПП) на координатные оси. Проекции совпадают с вершинами данного параллелепипеда.

  • Прямоугольный параллелепипед - это разновидность многогранника, состоящая из 6 граней, в основании которого прямоугольник. Диагональ - это отрезок, который соединяет противоположные вершины параллелограмма.

    Формула нахождения длины диагонали - квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений параллелограмма.

  • Нашлась в интернете неплохая схема-таблица с полным перечислением всего, что есть в параллепипеде. Есть формула, чтобы найти диагональ, которая обозначается d.

    Есть изображение грани, вершины и других важных для параллепипеде вещей.

  • Если у прямоугольного параллелепипеда известны длина, высота и ширина (a,b,c) то формула для расчета диагонали будет выглядеть таким образом:

    Обычно учителя не предлагают своим ученикам quot;голуюquot; формулу, а прилагают усилия, чтобы те могли самостоятельно ее вывести, задавая наводящие вопросы:

    • что нужно узнать, какими данными мы располагаем?
    • какие свойства имеет прямоугольный параллелепипед?
    • применима ли здесь Теорема Пифагора? Как?
    • достаточное ли данных для применения теоремы Пифагора, или нужны еще какие-то расчеты?

    Обычно после ответа на поставленные вопросы, ученики без труда самостоятельно выводят данную формулу.

  • Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Также как и диагонали его противоположных граней. Длину диагонали можно вычислить, зная длину рбер параллелограмма, исходящих из одной вершины. Эта длина равна корню квадратному из суммы квадратов длин его рбер.

  • Прямоугольный параллелепипед это один из так званных многогранников, который состоит из 6 граней, каждая из которых является прямоугольником. А диагональ - это отрезок, который соединяет противоположные вершины параллелограмма. Если длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда принять за a, b, c соответственно, то формула его диагонали ( D ) будет выглядеть следующим образом: D^2=a^2+b^2+c^2.

  • Диагональ прямоугольного параллелепипеда - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины . Итак, у нас есть прямоугольный параллелепипед с диагональю d и со сторонами a, b, c . Одно из свойств параллелепипеда гласит, что квадрат длины диагонали d равен сумме квадратов трх его измерений a, b, c. Отсюда вывод, что длина диагонали может быть легко рассчитана по следующей формуле :

  • Квадрат диагонали, квадратного параллилепипеда (смотрите свойства квадратного параллепипеда) равна сумме квадратов трх его разных сторон (ширине, высоте, толщине), а соответственно диагонали квадратного параллепипеда равна корню из этой суммы.

  • Вспоминаю школьную программу по геометрии, можно сказать так: диагональ параллелепипеда равняется корню квадратному полученному из суммы его всех трех сторон (обозначаются они маленькими буквами a, b, c).

  • Длина диагонали прямоугольного параллепипеда равна корню квадратному из суммы квадратов его сторон.

  • Насколько мне известно еще со школьной программы, класс 9 если не ошибаюсь, и если не изменяет память , то диагональ прямоугольного параллелепипеда ровна корню квадратному суммы квадратов его всех трех сторон.

  • квадрат диагонали равен, сумме квадратов ширины , высоты и длинны , исходя с этой формулы получаем ответ , диагональ равно корню квадратному с суммы его трех разных измерений , буквами они позначаюnсz abc

  • info-4all.ru

    Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

    Теорема. Во всяком параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.

    Так, грани (рис.) BB1С1С и AA1D1D параллельны, потому, что две пересекающиеся прямые BB1 и B1С1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым AA1 и A1D1 другой. Эти грани и равны, так как B1С1=A1D1, B1B=A1A (как противоположные стороны параллелограммов) и ∠BB1С1 = ∠AA1D1.

    Теорема. Во всяком параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

    Возьмем (рис.) в параллелепипеде какие-нибудь две диагонали, например, AС1 и DB1, и проведем прямые AB1 и DС1.

    Так как ребра AD и B1С1 соответственно равны и параллельны ребру BС, то они равны и параллельны между собой.

    Вследствие этого фигура ADС1B1 есть параллелограмм, в котором С1A и DB1 - диагонали, а в параллелограмме диагонали пересекаются пополам.

    Это доказательство можно повторить о каждых двух диагоналях.

    Поэтому диагональ AC1 пересекается с BD1 пополам, диагональ BD1 с A1С пополам.

    Таким образом, все диагонали пересекаются пополам и, следовательно, в одной точке.

    Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

    Пусть (рис.) AC1 есть какая-нибудь диагональ прямоугольного параллелепипеда.

    Проведя AC, получим два треугольника: AC1С и ACB. Оба они прямоугольные:

    первый потому, что параллелепипед прямой, и следовательно, ребро СС1 перпендикулярно к основанию,

    второй потому, что параллелепипед прямоугольный, значит в основании его лежит прямоугольник.

    Из этих треугольников находим:

    AC21 = AC2 + СС21 и AC2 = AB2 + BC2

    Следовательно, AC21= AB2 + BC2 + СС21 = AB2 + AD2 + AA21

    Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

    razdupli.ru

    Калькулятор расчета диагонали прямоугольного параллелепипеда

    Параллелепипедом является призма, основанием которой служит многогранник, чаще всего — параллелограмм. У него имеются грани, вершины, ребра. Параллелепипеды могут быть прямыми и наклонными. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники. Две грани, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а грани с общим ребром — смежными. Противоположные грани попарно параллельны, имеют равные измерения. Вершины параллелепипеда, не относящиеся к одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Четыре его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Три ребра прямоугольного параллелепипеда с общей вершиной являются его измерениями. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Квадрат его диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

    D2 = a2 + b2 + с2

    где D — диагональ, a, b, c — длины трех измерений прямоугольного параллелепипеда (ребер).

    Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню квадратному из суммы квадратов трех его измерений.

    где d — диагональ прямоугольного параллелепипеда, a, b, c — длины трех его измерений (ребер).

    Если известна диагональ и длина двух измерений (ребер) прямоугольного параллелепипеда, можно найти длину третьего измерения (ребра) по формуле:

    a = √D2 — b2 + с2

    Зная длину ребер прямоугольного параллелепипеда, можно вычислить все диагонали его боковых граней, воспользовавшись теоремой Пифагора. Диагональ боковой стороны (грани) прямоугольного параллелепипеда делит ее на два одинаковых прямоугольных треугольника, у которых гипотенузой будет искомая нами диагональ, а катетами — ребра параллелепипеда. Тогда, диагональ, как гипотенуза прямоугольного треугольника, будет равна корню квадратному из суммы квадратов катетов (двух ребер параллелепипеда):

    d2 = a2 + b2

    d = √a2 + b2

    где d — диагональ грани, а, b — длина и ширина (величина двух смежных ребер).

    Рассчитать диагональ прямоугольного параллелепипеда зная длину ребер

    infofaq.ru

    Математика для блондинок: Диагонали прямоугольного параллелепипеда

    Вот какой интересный вопрос мне задали: как найти объем прямоугольного параллелепипеда, зная три его диагонали, выходящие из одной вершины? Первая мысль - порыться в математическом справочнике. Но мой любимый справочник молчит. Есть другой кладезь мудрости - Википедия. Русскоязычная страница, посвященная прямоугольному параллелепипеду, поражает своим убожеством. Даже теоремы Пифагора для трехмерного пространства там нет. Обычно в таких случаях я перехожу на точно такую же страницу на английском языке. Ведь математика - это такая штука, которая в переводчиках не нуждается. Чаще всего там гораздо больше разных формул. В этот раз меня ждало великое разочарование. Да, я увидел там теорему Пифагора для прямоугольного параллелепипеда. И всё. Всякой математической фигни в Википедии навалом, а вот самого интересного нет. Печалька.

    Попробуем рассуждать логически. Если кому-то задали такую задачу, значит решение этой задачи есть. Наши математики ещё не доросли до того уровня, когда признаются своим ученикам в своем незнании чего-то. Разве что самые смелые. Остальные тупо повторяют то, чему учили когда-то их. Само собой напрашивается решение: составляем теоремы Пифагора для трех диагоналей граней, объединяем их в систему трех уравнений с тремя неизвестными, решаем и находим размеры прямоугольного параллелепипеда. Брррр! Ужас.

    Теперь порассуждаем с другой стороны. Объем - это результат умножения трех измерений длины. У нас есть три длины диагоналей. Теоретически, из них можно получить объем. Давайте нарисуем наши диагонали прямоугольного параллелепипеда и посмотрим, что можно с ними сделать. Смотрим с разных сторон, чтоб понятнее было.

    На картинке синим цветом выделены те элементы прямоугольного параллелепипеда, которые нам известны. Это диагонали граней. Красным цветом выделено то, что нам не известно. Это диагональ прямоугольного параллелепипеда и его линейные размеры (математики любят еще называть их измерениями параллелепипеда). Ну, и сам объем нам тоже не известен.

    Теперь вооружимся древней теоремой дедушки Пифагора и запишем формулы размеров и диагоналей. Параллелепипед у нас прямоугольный, значит все углы между линейными размерами и гранями прямые. Не забываем также, что наша главная цель - найти объем.

    Картинки несколько отвлекают от формул. Выписываем формулы отдельной кучкой. Математики в это случае с умным видом бы изрекли: "математическое множество формул". Смотрим на формулы и пытаемся хоть что-то соображать. Нам нужно избавиться от измерений и диагонали прямоугольного параллелепипеда, ведь они нам не известны. Вот если бы диагональ параллелепипеда выразить через диагонали боковых граней... Уж очень формулы в правой половине кучки похожи друг на друга.

    Есть! Квадраты диагоналей граней равны двум квадратам диагонали параллелепипеда. Теперь совсем просто. Как кубики в детском садике. Скобочки убираем, скобочки добавляем... И получаем формулу.

    После этого полученную формулу подставляем в формулы с линейными размерами и получаем выражение линейных размеров через диагонали граней. Потом записываем формулу объема.

    Всё. Задача решена. Получилась очень красивая и изящная формула. Из суммы  квадратов двух диагоналей граней вычитается квадрат третьей грани. Потом это перемножается, делится на восемь и получается квадрат объема прямоугольного параллелепипеда. Насколько понимаю я, это одно из основных свойств пространства. Используя принцип перегруппировки сомножителей и слагаемых, можно выводить подобные формулы для многомерных пространств с любым количеством измерений. Любой многомерный объем можно выразить через элементы с меньшим количеством измерений. К сожалению, нам математики об этом ничего не рассказывают. То ли сами ничего не знают, то ли стесняются. А ведь перед нами красота математики в первозданном виде, лишенная всяких заморочек, которые так любят наши учителя.

    www.webstaratel.ru

    Диагональ прямоугольного параллелепипеда | Онлайн калькулятор

    Параллелепипед - это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник с длиной a и шириной b. Двигаясь по вертикальной или наклонной оси на определенную высоту c, данный прямоугольник создает объемное тело, именуемое параллелепипедом.

    Параллелепипед по определению может быть наклонным или прямым, то есть угол между высотой и прямоугольником в основании варьируется от 0 до 90 градусов. Прямой параллелепипед имеет в качестве граней исключительно прямоугольники, и даже иногда квадрат (в основании), поэтому решение задач с его участием значительно облегчено. В случае с наклонным параллелепипедом в формулах необходимо учитывать, что боковой гранью является параллелограмм, строение которого зависит также от угла его наклона.

    Помимо трех вышеуказанных параметров параллелепипеда - длины, ширины высоты, являющихся его ребрами, в данном теле можно также провести еще несколько отрезков, соединяющих его вершины. Как и в геометрических фигурах на плоскости, линии, проходящие внутри основного каркаса через вершины, называются диагоналями. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда идентичны диагоналям прямоугольников, которыми представлены грани - их, соответственно, можно вычислить, используя подходящий онлайн калькулятор для прямоугольников.

    Другое дело - диагональ, проходящая не по внешней поверхности прямоугольного параллелепипеда, а сквозь него, соединяя противоположные вершины верхнего и нижнего оснований. При этом, какая именно пара противоположных вершин соединена, не имеет значения для расчетов, так как если рассмотреть сечения, можно увидеть, что обе диагонали параллелепипеда идентичны и найти их можно одним и тем же способом.

    Итак, для того чтобы вывести формулу диагонали через длину, ширину и высоту, необходимо заключить диагональ в плоскую геометрическую фигуру, свойства которой можно будет использовать. Для этого в любом основании - верхнем или нижнем, проводится диагональ, которая образует с диагональю параллелепипеда и боковым ребром (высотой) прямоугольный треугольник. Применив одну лишь теорему Пифагора, можно найти диагональ основания через ширину и длину,а затем диагональ прямоугольного параллелепипеда, добавив в расчеты высоту.

    Используя последнюю и предпоследнюю формулу, можно также успешно найти длину, ширину или высоту прямоугольного параллелепипеда, имея в заданных условиях три параметра из четырех, включая диагональ параллелепипеда. Например:

    allcalc.ru

    как найти объем параллелепипеда через диагонали его граней?

    Решение: пусть а, в и с-измерения данного пар-да, тогда 1){a²+b²=3 {a²+c²=5 {b²+c²=4 a²=3-b²=>3-b²+c²=5 и b²+c²=4(сложим почленно) =>3+2c²=9=>c²=3 b²+3=4=>b²=1 a²=3-1=2 2)V²=(abc)² V²=2*1*3=6=>V=V6(кв. корень из 6)(куб. ед).

    теорема пифагора казалось бы должна помочь

    По теореме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.

    Обозначим грани как "a", "b" и "c", тогда: 1. a^2+b^2=3; 2. a^2+c^2=5; 3. b^2+c^2=4 a^2=5-c^2; b^2=4-c^2 (5-c^2)+(4-c^2)=3 c=sqrt3 Подставив значение "с^2" в ф-лы 2. и 3., находим "a" и "b". V=a*b*c

    touch.otvet.mail.ru

    Параллелепипед [wiki.eduVdom.com]

    Призма называется параллелепипедом, если её основания — параллелограммы. См.Рис.1.

    Рис.1

    Свойства параллелепипеда:

    • Противоположные грани параллелепипеда параллельны (т.е. лежат в параллельных плоскостях) и равны.

    • Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

    Параллелепипед является многогранником.

    Смежные грани параллелепипеда – две грани, имеющие общее ребро.

    Противоположные грани параллелепипеда – грани, не имеющих общих рёбер.

    Противоположные вершины параллелепипеда – две вершины, не принадлежащие одной грани.

    Диагональ параллелепипеда – отрезок, который соединяет противоположные вершины.

    Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, то параллелепипед называется прямым.

    Прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники, называется прямоугольным. Призма, все грани которой - квадраты, называется кубом.

    Параллелепипед – призма, у которой основаниями служат параллелограммы.

    Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

    Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники.

    Куб – прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

    Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм; таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы.

    Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали; все они пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. За основание может быть принята любая грань; объем равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.

    Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым.

    Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники, называется прямоугольным. См.Рис.2.

    Рис.2

    Объем (V) прямого параллелепипеда равен произведению площади основания (S) на высоту (h): V = Sh .

    Для прямоугольного параллелепипеда, кроме того, имеет место формула V=abc , где a,b,c — ребра.

    Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением d2 = а2 + b2 + c2 .

    Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания прямоугольниками.

    Свойства прямоугольного параллелепипеда:

    • В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

    • Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

    • Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер, имеющих общую вершину).

    • Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

    Прямоугольный параллелепипед, все грани которого — квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны; объем (V) куба выражается формулой V=a3, где a — ребро куба.

    Пример №1

    Пример №2

    wiki.eduvdom.com