Абсолютная и относительная погрешность. Абсолютная и относительная погрешности


1. Абсолютная и относительная погрешности числа(определения, предельные погрешности, примеры)

Абсолютная и относительная погрешность числа.

В качестве характеристик точности приближенных величин любого происхождения вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности этих величин.

Обозначим через а приближение к точному числу А.

Определени. Величина называется погрешностью приближенного числаа.

Определение. Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется величина .

Практически точное число А обычно неизвестно, но мы всегда можем указать границы, в которых изменяется абсолютная погрешность.

Определение. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется наименьшая из верхних границ для величины , которую можно найти при данном способе получения числаа.

На практике в качестве выбирают одну из верхних границ для , достаточно близкую к наименьшей.

Поскольку , то. Иногда пишут:.

Абсолютная погрешность - это разница между результатом измерения

и истинным (действительным) значением измеряемой величины.

Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность не достаточны для характеристики точности измерения или вычисления. Качественно более существенна величина относительной погрешности.

Определение. Относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину:

Определение. Предельной относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину

Так как .

Таким образом, относительная погрешность определяет фактически величину абсолютной погрешности, приходящейся на единицу измеряемого или вычисляемого приближенного числа а.

Пример. Округляя точные числа А до трех значащих цифр, определить

абсолютную Dи относительную δ погрешности полученных приближенных

чисел.

Дано:

А=-13,327

Найти:

∆-абсолютная погрешность

δ –относительная погрешность

Решение:

=|А-а|

А=а±.

a=-13.3

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,a0

*100%=0.203%

Ответ: =0,027; δ=0.203%

2.Десятичная запись приближенного числа. Значащая цифра. Верные знаки числа(определение верных и значащих цифр, примеры; теория о связи относительной погрешности и числа верных знаков).

Верные знаки числа.

Определение. Значащей цифрой приближенного числа а называется всякая цифра, отличная от нуля, и нуль, если он расположен между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.

Например, в числе 0,00507 = имеем 3 значащие цифры, а в числе 0,005070=значащие цифры, т.е. нуль справа, сохраняя десятичный разряд, является значащим.

Условимся впредь нули справа записывать, если только они являются значащими. Тогда, иначе говоря,

значащими являются все цифры числа а, кроме нулей слева.

В десятичной системе счисления всякое число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы (десятичной дроби):

где , - первая значащая цифра, m - целое число, называемое старшим десятичным разрядом числа а.

Например, 518,3 =, m=2.

Пользуясь записью , введем понятие о верных десятичных знаках (в значащих цифрах) приближенно-

го числа.

Определение. Говорят, что в приближенном числе а формы n - первых значащих цифр ,

где i= m, m-1,..., m-n+1 являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой:

В противном случае последняя цифра называется сомнительной.

При записи приближенного числа без указания его погрешности требуют, чтобы все записанные цифры

были верными. Это требование соблюдено во всех математических таблицах.

Термин “n верных знаков” характеризует лишь степень точности приближенного числа и его не следует понимать так, что n первых значащих цифр приближенного числа а совпадает с соответствующими цифрами точного числа А. Например, у чисел А=10, а=9,997 все значащие цифры различны, но число а имеет 3 верных значащих цифры. Действительно, здесь m=0 и n=3 (находим подбором).

На практике отыскание n из при известных и m требует решения нелинейного неравенства, что составляет непростую задачу. Правильный выбор n возможен из тривиального линейного равенства по следующей методике.

Величину записываем в виде , где 0,05<d≤0,5, что всегда возможно. Тогда в неравенство для

коэффициентов выполняется (d≤1/2), основания степеней справа и слева одинаковы , поэтому можем приравнять показатели степеней: s=m-n+1, поэтому n=m-s+1.

ТЕОРЕМА 1 . Если положительное приближенное число а имеет n верных десятичных знаков, то для относительной погрешности этого числа справедлива оценка:

где - первая значащая цифра числа а.

Доказательство. Пусть число а определено формулой со знаком + перед скобкой. По условию а имеет n верных знаков, следовательно

Тогда

Следствие. В качестве предельной относительной погрешности числа а можно принять

studfiles.net

Абсолютная и относительная погрешность

При любых измерениях, округлении результатов расчетов, выполнении достаточно сложных подсчетов неизбежно возникает то или иное отклонение. Для оценки такой неточности принято использовать два показателя – это абсолютная и относительная погрешность.

Если от точного значения числа вычесть полученный результат, то мы получим абсолютное отклонение (причем при подсчете от большего числа отнимают меньшее). Например, если округлить 1370 до 1400, то абсолютная погрешность будет равна 1400-1382 = 18. При округлении до 1380, абсолютное отклонение составит 1382-1380 = 2. Формула абсолютной погрешности имеет вид:

Δx = |x* – x|, здесь

x* - истинное значение,

x – приближенная величина.

Впрочем, для характеристики точности одного этого показателя явно недостаточно. Судите сами, если погрешность веса составляет 0,2 грамма, то при взвешивании химреактивов для микросинтеза это будет очень много, при взвешивании 200 грамм колбасы вполне нормально, а при измерении веса железнодорожного вагона она и вовсе может быть не замечена. Поэтому часто вместе с абсолютной указывается или рассчитывается также относительная погрешность. Формула данного показателя выглядит так:

δx =Δx/|x*|.

Рассмотрим пример. Пусть общее число учеников школы равно 196. Округлим эту величину до 200.

Абсолютное отклонение составит 200 – 196 = 4. Относительная погрешность составит 4/196 или округленно, 4/196 = 2%.

Таким образом, если известно истинное значение некой величины, то относительной погрешностью принятого приближенного значения является отношение абсолютного отклонения приближенной величины к точному значению. Однако в большинстве случает выявить истинное точное значение очень проблематично, а порой и вовсе невозможно. И, следовательно, нельзя рассчитать точное значение погрешности. Тем не менее, всегда можно определить некоторое число, которое всегда будет немного больше, чем максимальная абсолютная или относительная погрешность.

Например, продавец взвешивает дыню на чашечных весах. При этом самая маленькая гиря равна 50 граммам. Весы показали 2000 грамм. Это приблизительное значение. Точный вес дыни неизвестен. Однако мы знаем, что абсолютная погрешность не может быть больше 50 грамм. Тогда относительная погрешность измерения веса не превосходит 50/2000 = 2,5%.

Значение, которое изначально больше абсолютной погрешности либо в наихудшем случае ей равное, принято называть предельной абсолютной погрешностью или же границей абсолютной погрешности. В предыдущем примере этот показатель равен 50 граммам. Аналогичным образом определяется и предельная относительная погрешность, которая в рассмотренном выше примере составила 2,5%.

Значение предельной погрешности не является строго заданным. Так, вместо 50 грамм мы вполне могли бы взять любое число, большее чем вес наименьшей гири, скажем 100 г или 150 г. Однако на практике выбирается минимальное значение. А если его удается точно определить, то оно и будет одновременно служить предельной погрешностью.

Бывает так, что абсолютная предельная погрешность не указана. Тогда следует считать, что она равна половине единицы последнего указанного разряда (если это число) или минимальной единице деления (если инструмент). К примеру, для миллиметровой линейки этот параметр равен 0,5 мм, а для приближенного числа 3,65 абсолютное предельное отклонение равно 0,005.

fb.ru

Абсолютные и относительные погрешности

Абсолютной погрешностью D называют погрешность измерения, выраженную в единицах измеряемой величины. Например, если результат измерения равен 20,1 мм, а действительное значение- 20,0 мм, то погрешность измерения составляет D = 20,1 – 20,0 = 0,1 мм.

Относительной погрешностью измерения δ называют отношение абсолютной погрешности к истинному (действительному) значению измеряемой величины

.

Относительная погрешность δ может быть выражена в процентах

%.

Разновидностью относительной является приведённая погрешность γ:

%,

где ХN – нормированное значение величины. Например, ХN= Хmax, где Хmax – максимальное значение измеряемой величины.

Систематические погрешности

Систематическими погрешностями Dс называются составляющие погрешности измерения, остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при повторных измерениях одной и той же величины (рис. 4). Они возникают под действием отдельных определенных факторов - источников погрешностей. Примером систематических погрешностей являются погрешности показаний измерительных приборов вследствие их неправильной градуировки или изменения окружающей температуры.

Причиной появления систематических погрешностей также могут быть неисправности измерительной аппаратуры, несовершенство метода измерений, неправильная установка измерительных приборов и отступление от нормальных условий работы, особенно самого оператора. Систематические погрешности в принципе могут быть выявлены и устранены. Для этого требуется проведение тщательного анализа возможных источников погрешностей в каждом конкретном случае.

Если известны причины, вызывающие появление систематической погрешности, то её можно обнаружить при измерениях и исключить из результата полностью или частично введением соответствующих поправок или устранить изменением условий измерений, юстировкой, подгонкой меры и т.д.

Поправка определяется значением величины, одноименной с измеряемой, которую необходимо прибавить к измеренному значению с целью исключения систематической погрешности. Количественно поправка сравна абсолютной систематической погрешности, взятой с обратным знаком:

с =  с.

Однако систематическую составляющую погрешности удаётся исключить не полностью. Оставшуюся неустранённой из результатов систематическую погрешность называют неисключённойсистематической погрешностью.

Случайные погрешности

Случайная погрешность – составляющая погрешности, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины (рис. 5).

Случайная погрешность является результатом случайных изменений многочисленных условий измерений, учёт которых практически не осуществим, и её можно обнаружить только при многократных измерениях.

Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. Их влияние может быть учтено теоретически, путём применения специальных способов обработки результатов наблюдений методами теории вероятностей и математической статистики.

Грубые промахи

Грубая погрешность (промах) – погрешность измерения, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях погрешность.

Хд

Х

Причиной грубой погрешности может служить невнимательность оператора, неисправность прибора, кратковременные изменения условий измерения. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специальных критериев.

studfiles.net

Абсолютная и относительная погрешности

Пусть X– некоторая физическая величина,x– результат её измерения,х– истинное значение. Так как не существуют идеальные измерительные приборы, и человек, проводящий измерения, тоже далёк от совершенства, то ясно, чтоxx. Повторное измерение величиныX, произведённое в тех же условиях и с помощью тех же измерительных приборов, даст другое значениеx, которое тоже не равно истинному значениюx.

Область значений, в которой лежат возможные результаты измерения величины Xдля данной методики измерений и при данных измерительных приборах, называетсядоверительным интерваломвеличиныX.

Доверительный интервал изображён на рисунке 1.1.

Чем меньше ширина доверительного интервала 2(x), тем точнее можно измерить величинуXи тем меньшепогрешность.

Абсолютной погрешностью(x) измерения величиныXназываетсяполуширина доверительного интервала.

Относительной погрешностьюизмерения величиныXназываетсяотношение абсолютной погрешности(x)к результату измеренияx. Относительная погрешность обозначается буквами(x) или(x).

.(1.1)

Часто относительную погрешность измеряют в процентах. Тогда формулу (1.1) пишут в виде:

. (1.2)

  1. Приборная и случайная погрешности

Погрешность измерения величины Xможно разделить на сумму двух составляющих –приборную погрешностьп(x) ислучайнуюс(x):

. (1.3)

Приборная погрешность определяется классом точностиприборов, применяемых для измеренияX, случайная погрешность определяется действиемслучайных факторов– неточностью действий человека, производящего измерения, и колебаний параметров среды, в том числе параметров измерительной установки (давления, температуры, освещённости, напряжения в сети и т.д.).

Оценка приборной погрешности зависит от того, к какому из двух классов относится способ измерения величины X. Первый класс – этопрямые измерения, второй класс –косвенные измерения.

  1. Прямые и косвенные измерения

Результат прямого измерения – это отсчёт по шкалеизмерительного прибора. Результат косвенного измерения получается в два этапа: на первом из них производится одно или несколькопрямых измерений, на втором этапе проделывается некоторыйрасчёт, использующий результаты прямых измерений первого этапа. Например, если измерить глубину пустого колодца, спускаясь в него с рулеткой в руках, то это будетпрямое измерение. Если же сбросить в колодец камень, измерить по секундомерувремя падениякамня на дноt, а затем вычислить глубину по формуле, то полученное число будет результатомкосвенного измеренияглубины колодцаh.

  1. Приборная погрешность прямого измерения

Для того чтобы оценить приборную погрешность прямого измерения, достаточно знать класс точностиприменяемого прибора, который указывается на шкале или корпусе прибора либо в виде числа с указанием единиц измерения, либо в виде одного из чисел: 0,01; 0,02; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0 без единиц измерения. Смысл термина «класс точности» зависит от типа прибора. Отличить эти типы друг от друга можнопо способу указанияна них класса точности.

1 тип. Класс точностиуказан на приборе в виде числа с указанием единиц измерения. Примером является штангенциркуль, фрагмент которого показан на рисунке 1.2.

Для такого прибора класс точности – это абсолютнаяприборная погрешность:. Для любого результата измеренияабсолютнаяприборная погрешность – одна и та же, но относительная погрешность уменьшается с ростомx. Для штангенциркуля, показанного на рисунке 1.2,.

2 тип. Класс точностиуказан на приборе в виде одного из чисел 0,01; 0,02; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0 без каких-либо дополнительных значков.

Пример: микроамперметр, шкала которого изображена на рисунке 1.3, обладает классом точности 1,5.

Приборы этого типа выполнены так, что их абсолютнаяприборная погрешностьп(x)не зависитот результата измеренияx, и поэтому относительная погрешностьуменьшается с ростомx. При этом под классом точности понимается следующая величина:

, (1.4)

где xN– так называемое «нормирующее значение». Для всех приборов, которые применяются в учебной лаборатории, нормирующее значение – это предел измерения, то есть максимальное значение величины, которое может показать прибор. Например, у микроамперметра на рисунке 1.2 нормирующее значениеxN= 100 мкА.

Зная класс точности и нормирующее значениеxN, можно определить абсолютную приборную погрешностьп(x) по формуле

. (1.5)

Относительная приборная погрешность, как указывалось выше, зависит от результата измерения x.

Микроамперметр, показанный на рисунке 1.3, обеспечивает абсолютную приборную погрешность измерения тока , относительная приборная погрешность того результата, который показывает микроамперметр, то естьI= 30 мкА, составляет.

3 тип. Класс точностиуказан на приборе в виде одного из чисел 0,01; 0,02; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0, причём это числообведёно кружком. Пример такого прибора показан на рисунке 1.4.

Приборы этого типа выполнены так, что их относительнаяприборная погрешностьδп(x) не зависит от результата измеренияx. Класс точностив этих приборах – это относительная приборная погрешностьδп(x), измеренная в процентах. Абсолютная приборная погрешность при этом зависит от результата измеренияx– чем большеx, тем большеп(x):

(1.6)

Например, относительная погрешность измерения напряжения с помощью вольтметра, изображённого на рисунке 1.4, равна 2,5%, а абсолютная погрешность того результата, который показывает вольтметр, то есть U= 45 В, составляет.

4 тип. Класс точностине указан. В этом случае, как и для приборов 1 типа,абсолютнаяпогрешностьп(x) не зависит от результата измеренияx. Если прибор – цифровой, топ(x) равна 1 вмладшемразряде прибора. Если прибор – не цифровой, например, миллиметровая линейка или бытовой уличный термометр, топ(x) равнаполовине цены деленияприбора.

Правда, это правило не следует применять как догму. Пример: необходимо линейкой измерить размер Lнекоторого предмета. Процедура измерения состоит в том, что линейку располагают вдоль предмета, причём один край предмета совмещают с нулём линейки. Тогда размер предметаLравен тому показанию линейки, которое находится против другого края предмета. В этом случае погрешность измерения связана не только с погрешностью отсчёта по линейке, но и с погрешностью нулевого деления. Поэтому рекомендуется считать приборную погрешность в подобных ситуациях равной не половине деления шкалы, а целому делению. Если, например, линейка миллиметровая, топ(L) = 1 мм.

studfiles.net

Абсолютная и относительная погрешности — Мегаобучалка

На практике обычно числа, над которыми производятся вычисления, являются приближенными значениями тех или иных величин. Для краткости речи приближенное значение величины называют приближенным числом. Истинное значение величины называют точным числом. Приближенное число имеет практическую ценность лишь тогда, когда мы можем определить, с какой степенью точности оно дано, т.е. оценить его погрешность. Напомним основные понятия из общего курса математики.

Обозначим: x - точное число (истинное значение величины), а -приближенное число (приближенное значение величины).

Определение 1. Погрешностью ( или истинной погрешностью) приближенного числа называется разность между числом x и его приближенным значением а. Погрешность приближенного числа а будем обозначать . Итак,

. (2.1)

Погрешность может быть числом положительным, отрицательным или равным нулю.

Определение 2. Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется модуль разности между числом х и его приближенным значением а.

Абсолютную погрешность приближенного числа а будем обозначать , т.е.

. (2.2)

Точное число x чаще всего бывает неизвестно, поэтому найти истинную и абсолютную погрешности не представляет возможным. С другой стороны, бывает необходимо оценить абсолютную погрешность, т.е. указать число, которого не может превысить абсолютная погрешность. Например, измеряя длину предмета данным инструментом, мы должны быть уверены в том, что погрешность полученного числового значения не превысит некоторого числа, например 0,1 мм. Другими словами, мы должны знать границу абсолютной погрешности. Эту границу будем называть предельной абсолютной погрешностью.

Определение 3. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется положительное число такое, что , т.е.

. (2.3)

Из формулы (2.3) получаем:

(2.4)

Значит, есть приближенное значение числа х по недостатку, - по избытку. Применяют также такую запись:

. (2.5)

Ясно, что предельная абсолютная погрешность определяется неоднозначно: если некоторое число есть предельная абсолютная погрешность, то любое большее число тоже есть предельная абсолютная погрешность. На практике стараются выбирать возможно меньшее и простое по записи (с 1-2 значащими цифрами) число , удовлетворяющее неравенству (2.3).

Пример. Определить истинную, абсолютную и предельную абсолютную погрешности числа а = 0,17, взятого в качестве приближенного значения числа .

Истинная погрешность:

Абсолютная погрешность:

За предельную абсолютную погрешность можно принять число и любое большее число. В десятичной записи будем иметь: Заменяя это число большим и возможно более простым по записи, примем:

Замечание. Если а есть приближенное значение числа х, причем предельная абсолютная погрешность равна h, то говорят, что а есть приближенное значение числа х с точностью до h.

Знания абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения или вычисления. Пусть, например, получены такие результаты при измерении длины. Расстояние между двумя городами S1=500 1 км и расстояние между двумя зданиями в городе S2=10 1 км. Хотя абсолютные погрешности обоих результатов одинаковы, однако существенное значение имеет то, что в первом случае абсолютная погрешность в 1 км приходится на 500 км, во втором - на 10 км. Качество измерения в первом случае лучше, чем во втором. Качество результата измерения или вычисления характеризуется относительной погрешностью.

Определение 4. Относительной погрешностью приближенного значения а числа х называется отношение абсолютной погрешности числа а к абсолютному значению числа х:

. (2.6)

Так, как точное число обычно бывает неизвестно, его заменяют приближенным числом:

. (2.7)

Определение 5. Предельной относительной погрешностью приближенного числа а называется положительное число такое, что .

Так как , то из формулы (2.7) следует, что можно вычислить по формуле

. (2.8)

Для краткости речи в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, вместо “предельная относительная погрешность” говорят просто “относительная погрешность”.

Предельную относительную погрешность часто выражают в процентах.

Пример 1. . Полагая , можем принять = . Производя деление и округляя (обязательно в сторону увеличения), получим =0,0008=0,08%.

Пример 2. При взвешивании тела получен результат: p=23,4 0,2 г. Имеем =0,2. . Производя деление и округляя, получим =0,9%.

Формула (2.8) определяет зависимость между абсолютной и относительной погрешностями. Из формулы (2.8) следует:

. (2.9)

Пользуясь формулами (2.8) и (2.9), мы можем, если известно число а, по данной абсолютной погрешности находить относительную погрешность и наоборот.

Заметим, что формулы (2.8) и (2.9) часто приходится применять и тогда, когда мы еще не знаем приближенного числа а с требуемой точностью, а знаем грубое приближенное значение а. Например, требуется измерить длину предмета с относительной погрешностью не выше 0,1%. Спрашивается: возможно ли измерить длину с нужной точностью при помощи штангенциркуля, позволяющего измерить длину с абсолютной погрешностью до 0,1 мм? Пусть мы еще не измеряли предмет точным инструментом, но знаем, что грубое приближенное значение длины - около 12 см. По формуле (1.9) находим абсолютную погрешность:

мм

Отсюда видно, что при помощи штангенциркуля возможно выполнить измерение с требуемой точностью.

В процессе вычислительной работы часто приходится переходить от абсолютной погрешности к относительной, и наоборот, что делается с помощью формул (1.8) и (1.9).

megaobuchalka.ru

Относительная и абсолютная погрешность: понятие и примеры

 

Как уже говорилось ранее, когда мы сравниваем точность измерения некоторой приближенной величины, мы используем абсолютную погрешность.

Понятие абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность приближенного значения - это модуль разности точного значения и приближенного значения. Абсолютную погрешность можно применять для сравнения точности приближений одинаковых величин, а если мы собираемся сравнивать точности приближения различных величин, тогда одной абсолютной погрешности недостаточно.

Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений. 

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.

Понятие относительной погрешности

Здесь для оценки качества приближения вводится новое понятие относительная погрешность. Относительная погрешность – это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближенного значений измеряемой величины. Обычно, относительную погрешность выражают в процентах. В нашем примере мы получили две относительных погрешности равные 0.33% и 0.15%.

Как вы уже догадались, относительная погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность всегда положительная величина, и мы делим её на модуль, а модуль тоже всегда положителен.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Абсолютная погрешность: понятие, как вычислить + примеры Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspМногочлен: понятие и его стандартный вид, степень многочлена

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Абсолютная и относительная погрешность

Элементы теории погрешностей

 

Точные и приближенные числа

Точность числа, как правило, не вызывает сомнений, когда речь идет о целых значениях данных(2 карандаша, 100 деревьев). Однако, в большинстве случаев, когда точное значение числа указать невозможно (например, при измерении предмета линейкой, снятии результатов с прибора и т.п.), мы имеем дело с приближенными данными.

Приближенным значением называется число, незначительно отличающееся от точного значения и заменяющее его в вычислениях. Степень отличия приближенного значения числа от его точного значения характеризуется погрешностью.

Различают следующие основные источники погрешностей:

1. Погрешности постановки задачи, возникающие в результате приближенного описания реального явления в терминах математики.

2. Погрешности метода, связанные с трудностью или невозможностью решения поставленной задачи и заменой ее подобной, такой, чтобы можно было применить известный и доступный метод решения и получить результат, близкий к искомому.

3. Неустранимые погрешности, связанные с приближенными значениями исходных данных и обусловленные выполнением вычислений над приближенными числами.

4. Погрешности округления, связанные с округлением значений исходных данных, промежуточных и конечных результатов, получаемых с применением вычислительных средств.

 

 

Абсолютная и относительная погрешность

Учет погрешностей является важным аспектом применения численных методов, поскольку погрешность конечного результата решения всей задачи является продуктом взаимодействия всех видов погрешностей. Поэтому одной из основных задач теории погрешностей является оценка точности результата на основании точности исходных данных.

Если – точное число и – его приближенное значение, то погрешностью (ошибкой) приближенного значения является степень близости его значения к его точному значению .

Простейшей количественной мерой погрешности является абсолютная погрешность, которая определяется как

 

(1.1.2-1)

 

Как видно из формулы 1.1.2-1, абсолютная погрешность имеет те же единицы измерения, что и величина . Поэтому по величине абсолютной погрешности далеко не всегда можно сделать правильное заключение о качестве приближения. Например, если , а речь идет о детали станка, то измерения являются очень грубыми, а если о размере судна, то – очень точными. В связи с этим введено понятие относительной погрешности, в котором значение абсолютной погрешности отнесено к модулю приближенного значения ().

 

(1.1.2-2)

Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерений данных. Относительная погрешность измеряется в долях или процентах. Так, например, если

 

,а , то , а если и ,

 

то тогда .

Чтобы численно оценить погрешность функции, требуется знать основные правила подсчета погрешности действий:

· при сложении и вычитании чиселабсолютные погрешности чисел складываются

 

· при умножении и делении чисел друг на друга складываются их относительные погрешности

 

· при возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени

 

 

Пример 1.1.2-1. Дана функция: . Найти абсолютную и относительную погрешности величины (погрешность результата выполнения арифметических операций), если значения известны, а 1 – точное число и его погрешность равна нулю.

 

 

Определив, таким образом, значение относительной погрешности, можно найти значение абсолютной погрешности, как ,где величина вычисляется по формуле при приближенных значениях

Поскольку точное значение величины обычно неизвестно, то вычисление и по приведенным выше формулам невозможно. Поэтому на практике проводят оценку предельных погрешностей вида:

 

(1.1.2-3)

 

где и – известные величины, которые являются верхними границами абсолютной и относительной погрешностей, иначе их называют – предельная абсолютная и предельная относительная погрешности. Таким образом, точное значение лежит в пределах:

 

или

 

 

Если величина известна, то , а если известна величина , то

Предельная абсолютная погрешность функции вида , дифференцируемойв заданной области, при известных значениях аргументов , а также при известных предельных абсолютных погрешностях аргументов , вычисляется по формуле:

 

(1.1.2-4)

а, соответственно, предельная относительная погрешность функции

 

(1.1.2-5)

 

В частном случае для функции от одной переменной (при m=1):

 

 

Пример1.1.2-2.Оценить абсолютную и относительную погрешности приближенного числа .

Число – трансцендентное число, представляется бесконечной непериодической дробью .

Приближенное значение числа .

Граница абсолютной погрешности , относительная погрешность числа

 

Похожие статьи:

poznayka.org